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DES DÉRIVATIONS.

et il suffirait de substituer, dans les équations (10), ou dans les résultats obtenus par la règle du n.^o 8, pour les quantités polynômiales $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ les dérivées correspondantes $\phi a,\operatorname {D} .\phi a,$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a,{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a,\ldots ,$ qui doivent être elles-mêmes développées selon les règles du n.^o 8.

Il serait même aisé, dans ce cas, d’obtenir immédiatement le développement de la fonction proposée ; car, en mettant dans l’équation (7) $\psi \phi$ à la place de $\phi ,$ on obtiendrait

$\psi \phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)$

$=\psi \phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+\ldots \,;$

et au moyen d’une légère extension donnée à la règle du n.^o 8, on trouverait

${\begin{aligned}\operatorname {D} .\psi \phi a&=\operatorname {D} \psi \phi a.\operatorname {D} \phi a.a_{1},\\{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \phi a&=\operatorname {D} \psi \phi a.\left(\operatorname {D} \phi a.a_{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\psi \phi a\left(\operatorname {D} \phi a\right)^{2}.a_{1}^{2},\\{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi \phi a&=\operatorname {D} \psi \phi a.\left(\operatorname {D} \phi a.a_{3}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}a_{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right)\\&+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\psi \phi a\left[\left(\operatorname {D} \phi a\right)^{2}2.a_{1}a_{2}+2\operatorname {D} \phi a.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{3}\right]\\&+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\psi \phi a.\left(\operatorname {D} \phi a\right)^{3}.a_{1}^{3},\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Le développement précédent équivaut à celui d’une fonction triple d’un binôme $\psi \phi \operatorname {f} (\alpha +x).$ En effet, pour avoir le développement de cette fonction triple, il suffit de substituer, dans les formules précédentes, pour $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ les valeurs (2), en fonction de $\alpha .$

Nous ne pousserons pas plus loin ces observations, sur le développement des fonctions multiples ; ce que nous venons de dire suffit pour faire apercevoir la possibilité de cette extension, au moyen du calcul des dérivations.

12. Jusqu’à présent nous n’avons considéré que les fonctions d’un seul polynôme, et nous avons complètement résolu le problème de leur développement successif : il nous resterait maintenait à résoudre la même question pour les fonctions de plusieurs polynômes, ainsi que pour celles des polynômes à double ou à triple entrée ; mais les limites que nous avons dû prescrire à cet écrit, ne nous per-