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DES DÉRIVATIONS.

la règle pour former immédiatement un terme quelconque du développement, indépendamment de ceux qui le précèdent.

9. Remarque I. On a pu remarquer, en examinant la composition des formules (10), que le signe de fonction, ainsi que les signes de dérivation, n’affectent que la première lettre du polynôme dont il s’agit de développer la fonction. Arbogast appelle cette première lettre origine de dérivations ou premier terme de polynôme, et toutes les suivantes quantités polynômiales. Il résulte de cette observation que la composition des termes successifs du développement, en quantités polynômiales, reste la même, quelle que soit la fonction à développer ; et que toute la différence, dans le développement des diverses sortes de fonctions, consiste dans les valeurs des dérivées $\operatorname {D} \phi a,\operatorname {D^{2}} \phi a,\operatorname {D^{3}} \phi a,\ldots ,$ qui n’affectent que la première lettre du polynôme. Ainsi on a, pour $\left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)^{m}$

$\operatorname {D} \phi a=ma^{m-1},\quad \operatorname {D^{2}} \phi a=m(m-1)a^{m-2},$

$\operatorname {D^{3}} \phi a=m(m-1)(m-2)a^{m-3},\ldots \,;$

pour $e^{\left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)}$

$\operatorname {D} \phi a=e^{a},\quad \operatorname {D^{2}} \phi a=e^{a},\quad \operatorname {D^{3}} \phi a=e^{a},\ldots \,;$

pour $\operatorname {Cos} .\left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)$

$\operatorname {D} \phi a=-\operatorname {Sin} .a,\quad \operatorname {D^{2}} \phi a=-\operatorname {Cos} .a,\quad \operatorname {D^{3}} \phi a=+\operatorname {Sin} .a,\ldots \,;$

et ainsi de suite, pour d’autres formes de fonctions.

Si le polynôme sous le signe de fonction était terminé, et composé de $n$ termes, on aurait $a_{n}=0,a_{n+1}=0,a_{n+2}=0,\ldots \,;$ il suffirait donc alors de rejeter, dans les formules (10), tous les termes où il entrerait, comme facteur, une des quantités polynômiales dont l’indice serait supérieure à $n-1$ ; et, dans l’application de la règle du n.^o précédent, on s’arrêterait, dans chaque coefficient au terme affecté de $a_{n-1}.$

10. Remarque II. L’inspection des termes successifs (10) du développement de l’équation (6) fait aisément découvrir la loi re-