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DES DÉRIVATIONS.

${\begin{aligned}\operatorname {D} ^{6}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{6}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a\left[6\operatorname {D} a\operatorname {D} ^{5}a+15\operatorname {D} ^{2}a\operatorname {D} ^{4}a+10\left(\operatorname {D} ^{3}a\right)^{2}\right]\\&+\operatorname {D} ^{3}\phi a\left[15\operatorname {D} a^{2}\operatorname {D} ^{4}a+60\operatorname {D} a\operatorname {D} ^{2}a\operatorname {D} ^{3}a+15\left(\operatorname {D} ^{2}a\right)^{3}\right]\\&+\operatorname {D} ^{4}\phi a[20\operatorname {D} a^{3}\operatorname {D} ^{3}a+45\operatorname {D} a^{2}\left(\operatorname {D} ^{2}a\right)^{2}+\operatorname {D} ^{5}\phi a.15\operatorname {D} a^{4}\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{6}\phi a.\operatorname {D} a^{6},\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

En substituant ces valeurs dans les équations (8), et remplaçant les dérivées de $a$ par leurs valeurs (3), on obtient

$(10)\left\{{\begin{aligned}A&=\phi a,\\A_{1}&=\operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{1},\\A_{2}&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2},\\A_{3}&={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{3}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}a_{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3},\\A_{4}&={\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{4}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{3}+a_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}a_{2}+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4},\\A_{5}&={\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}.\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{5}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{4}+2a_{2}a_{3}\right)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a\left(3a_{1}^{2}a_{3}+3a_{1}a_{2}^{2}\right)\\&\qquad +{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.4a_{1}^{3}a_{2}+{\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}\phi a.a_{1}^{5},\\A_{6}&={\tfrac {1}{720}}\operatorname {D} ^{6}.\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{6}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{5}+a_{2}a_{4}+a_{3}^{2}\right)\\&\qquad +{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a\left(3a_{1}^{2}a_{4}+2.3a_{1}a_{2}a_{3}+a_{2}^{3}\right)\\&\qquad +{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a\left(4a_{1}^{3}a_{4}+{\tfrac {4.3}{2}}a_{1}^{2}a_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}\phi a.5a_{1}^{4}a_{2}+{\tfrac {1}{720}}\operatorname {D} ^{6}\phi a.a_{1}^{6},\\\end{aligned}}\right.$

et ainsi de suite.

Nous voici donc parvenus au développement complet des sept premiers termes de la série (6), qui est l’objet fondamental du calcul des dérivations, sans supposer autre chose que le théorème de Taylor, et les règles ordinaires de la différentiation. En examinant de près la composition successive de ces termes, on en conclut aisément la règle pratique suivante, pour déduire immédiatement un terme quelconque de celui qui le précède.

RÈGLE FONDAMENTALE.

8. Pour déduire à développement de $\mathrm {A} _{n+1}$ de celui de $\mathrm {A} _{n},$ les lettres étant disposées d’après leur ordre de succession ;

1.^o On ne fera varier, dans chaque terme, que la dernière