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CALCUL

$a_{2},a_{3},\ldots$ et les dérivées successives de $a$, on a les relations (3).

En effet, en supposant, ce qui est toujours permis,

(5)$\qquad a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots =\operatorname {f} (\alpha +x),$

on a, d’après la définition des dérivées (n.^o 1),

$a=\operatorname {f} \alpha ,a_{1}=\operatorname {Df} \alpha =\operatorname {D} a,a_{2}={\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}f} \alpha ={\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}} a,$

$a_{3}={\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}f} \alpha ={\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}} a,\ldots \,;$

d’où l’on tire les relations (3).

Si le polynôme est terminé, et n’a qu’un nombre $n$ de termes, $a_{n-1}$ sera le dernier des coefficlens ; et tous les suivans $a_{n},a_{n+1},$$a_{n+2},\ldots$ ainsi que leurs valeurs correspondantes, en dérivées de $a,$ seront égaux à zéro.

4. Remarque. Il est bon d’observer que l’équation (5) peut être satisfaite d’une infinité de manières, et que $\alpha$ est entièrement indéterminé. En supposant $\alpha =0,$ on a

$a=\operatorname {f} 0,a_{1}=\operatorname {Df} 0=\operatorname {D} a,a_{2}={\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}f} 0={\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}} a,$

$a_{3}={\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}f} 0={\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}} a,\ldots \,;$

ce qui donne encore les relations (3).

5. Proposons-nous maintenant de développer la fonction d’un polynôme quelconque, ordonné selon les puissances ascendantes de la variable, en une série qui procède selon les mêmes puissances ; c’est-à-dire, de déterminer les coefficiens du second membre de l’équation suivante :

(6)$\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)^{2}=A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots$

D’après le n.^o 3, le polynôme sous le signe de la fonction peut être représenté par $\operatorname {f} (\alpha +x)$ ; le premier membre de cette équation, peut donc être mis sous la forme $\phi \operatorname {f} (\alpha +x).$ Il suffit donc de substituer, dans l’équation (4), $\phi \operatorname {f}$ au lieu de $\operatorname {f}$ ; ce qui donne

${\begin{aligned}\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)&=\phi \operatorname {f} \alpha +\operatorname {D} .\phi \operatorname {f} \alpha .x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D^{2}} .\phi \operatorname {f} \alpha .x^{3}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D^{3}} .\phi \operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \\&=\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D^{2}} .\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D^{2}} .\phi a.x^{2}+\ldots \\\end{aligned}}$