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CALCUL

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les valeurs (2) étant substituées dans l’équation (1) donnent

(4)

(4) $f(\alpha +x)=\operatorname {f} \alpha +\operatorname {Df} \alpha .x+{\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}f} \alpha .x^{2}+{\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}f} \alpha .x^{3}+\ldots$

$=a+\operatorname {D} a.x+{\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}} a.x^{2}+{\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}} a.x^{3}+\ldots$

Mais ici il faut observer que ce développement peut devenir impossible ; ce qui arrive toutes les fois que $\operatorname {f} \alpha$ et ses déîivées deviennent infinies : ce cas a lieu pour la fonction $\operatorname {Log} .x,$ par exemple.

2. Remarque. La loi des Dérivations, ou de la formation des dérivées successives, est évidemment la même que celle des differentiations, à la seule exception près que nous supprimons les dénominateurs inutiles $\operatorname {D} \alpha ,\operatorname {D^{2}} \alpha ,\operatorname {D^{3}} \alpha ,\ldots \,;$ ce qui revient à supposer $\operatorname {D} \alpha =1.$ En effet, on sait, et il est d’ailleurs évident que le coefficient différentiel d’un ordre quelconque de la fonction d’un binôme $\alpha +x$ est le même, soit qu’on la différencie en regardant $x$ comme variable et $\alpha$ comme constant, soit qu’on la différencie en regardant $\alpha$ comme variable, et $x$ comme constant ; on a donc ${\frac {\operatorname {d^{n}.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} x^{n}}}={\frac {\operatorname {d^{n}.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}\,;$ or, en faisant $x=0,$ dans ${\frac {\operatorname {d^{n}.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}},$ on obtient ${\frac {\operatorname {d^{n}.f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}=\operatorname {D^{n}f} \alpha .$ Il est donc démontré que la loi des dérivations est la même que celle des différentiations ; et il s’ensuit aussi que les dérivées d’un ordre quelconque ne sont autre chose que les coefficiens différentiels du même ordre, pris relativement à la quantité constante $\alpha ,$ que l’on feint être variable.

Il se présente ici naturellement une objection que l’on a faite, dès l’origine, contre la notation du calcul des dérivations : c’est que les opérations dérivatives étant les mêmes que celles du calcul différentiel, il fallait les indiquer par les mêmes notations. Je réponds d’abord qu’absolument parlant la chose eût été possible ; mais que, pour l’ordre et la précision, et d’après les règles d’une saine logique, des opérations qui, bien qu’identiques pour la forme, dif-