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QUESTIONS

des rapports donnés. Non seulement l’épreuve a justifié mon attente ; mais j’ai vu que la construction pouvait être démontrée très-brièvement, sans rien emprunter de la théorie des suites dont les termes sont des puissances semblables des termes d’une progression par différences.

Soit en effet divisé le diamètre $2r$ d’un cercle (fig. 7) en deux segmens, proportionnels à $m$ et $n$ en sorte que ces deux segmens soient

${\frac {2mr}{m+n}},\qquad {\frac {2nr}{m+n}}\,;$

sur ces deux segmens comme diamètres soient décrits, de part et d’autre du diamètre total $2r,$ deux demi-circonférences dont les longueurs seront conséquemment

${\frac {\varpi mr}{m+n}},\qquad {\frac {\varpi nr}{m+n}}\,;$

leur somme sera ainsi $\varpi r\,;$ c’est-à-dire que, quel que soit le rapport de $m$ à $n,$ la courbe continue formée par les deux demi-circonférences intérieures et se terminant aux deux extrémités du diamètre $2r$ est constamment égale à la demi-circonférence extérieure.

Cette courbe et le diamètre $2r$ divisent le cercle extérieur en quatre segmens $M,N,M',N'\,;$ et l’on a évidemment, par ce qui précède,

${\begin{aligned}M={\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {m^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},&\quad M'={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-N={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {n^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},\\\\N\,={\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {n^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},&\quad N'\,={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-M={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {m^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

ou, en réduisant,