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DE LA CYCLOÏDE.

$\varpi x'y'^{2}\operatorname {d} x'=32\pi r^{4}t'^{2}u'^{4}\operatorname {d} z'(z'+t'u'),$

dont l’intégrale, commençant avec $\mathrm {z} ',$ est (I)

${\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{9z'^{2}+6t'u'z'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(16+25t'^{2}-68t'^{4}+36t'^{6}\right)\right\}\,;$

divisant donc par la formule (mm), on aura, pour la distance du point $\mathrm {O} '$ au centre de gravité de ce corps,

${\tfrac {r\left\{9z'^{2}+6t'u'z'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(16+25t'^{2}-68t'^{4}+36t'^{6}\right)\right\}}{3\left\{3z'+t'u'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\}}}.\quad (rr')$

En conséquence, s’il s’agit de la distance du point $\mathrm {O} '$ au centre de gravité du corps engendré par $\mathrm {OO'A',}$ tournant autour de $\mathrm {O'A',}$ on trouvera pour son expression

$r.{\frac {\varpi ^{2}+4}{2\varpi }}.$

L’élément du second de ces deux corps étant $\varpi x'^{2}\operatorname {d} y'$ le moment de cet élément, par rapport au plan perpendiculaire à l’axe, passant par $\mathrm {O} ',$ sera

$\varpi x'^{2}y'\operatorname {d} y'=32\varpi r^{4}t'u'^{3}(z'+t'u')^{2},$

dont l’intégrale, commençant avec $\mathrm {z} ',$ est (I)

${\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{9z'^{2}\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)+6t'u'z'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)\right.$

$\left.-\left(1-t'^{2}\right)\left(16-47t'^{2}+76t'^{4}-36t'^{6}\right)\right\}\,;$

divisant donc par la founule (nn), on aura, pour la distance du point $\mathrm {O} '$ au centre de gravité de ce corps,

${\tfrac {r\left\{9z'^{2}\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)+6t'u'z'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(16-47t'^{2}+76t'^{4}-36t'^{6}\right)\right\}}{6\left\{3z'^{2}\left(3-4t'^{2}\right)+6t'u'z'\left(3-2t'^{2}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(4-5t'^{2}+4t'^{4}\right)\right\}}}.\quad (ss)$

En conséquence, s’il s’agit de la distance du point $\mathrm {O} '$ au centre de gravité du corps engendré par $\mathrm {O'OA,}$ tournant autour de $\mathrm {O'A,}$ on trouvera pour son expression

${\tfrac {1}{2}}r.{\frac {7\varpi ^{2}-4}{3\varpi ^{2}-4}}.$

On voit, d’après ce qui précède, qu’il sera toujours facile de déterminer le centre de gravité du corps engendré par un segment quelconque de cycloïde, tournant autour de $\mathrm {OA'}$ ou $\mathrm {OA} .$

Paris, 17 janvier 1815.