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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

${\begin{aligned}X'.4ru'&=4r\left(\varpi r-{\tfrac {4}{3}}r\right)-4r(1-u')\left\{\varpi r-{\frac {2r\left[t'\left(3-t'^{2}\right)-3u'z\right]}{3(t-u')\,;}}\right\}\\Y'.4ru'&=4r\left(2r-{\tfrac {4}{3}}r\right)-4r(1-u')\left\{2r-{\tfrac {2}{3}}(1-u')(2+u')\right\}\,;\\\end{aligned}}$

d’où on tire, toutes réductions faites,

$\left.{\begin{aligned}X'&={\frac {2r\left\{3u'z'-(1-t')^{2}(2+t')\right\}}{3u'}},\\Y'&={\tfrac {2}{3}}ru'^{2}={\tfrac {1}{3}}\mathrm {O} 'Q'.\\\end{aligned}}\right\}\qquad (f)$

Cette dernière formule prouve que le centre de gravité de tout arc de cycloïde qui a son milieu à son sommet $\mathrm {O} '$ est au tiers de sa flèche, à partir de ce sommet. D’après les précédens résultats, la recherche du centre de gravité d’un arc quelconque de cycloïde ne saurait offrir de difficulté.

VI. Cherchons les surfaces engendrées par l’are $\mathrm {MO} ',$ tournant autour de $\mathrm {O'A'}$ ou $\mathrm {O'A}$ ?

Suivant la règle centrobarique, ces surfaces seront les produits respectifs de la formule (b) par $2\varpi \mathrm {Y} '$ et $2\varpi \mathrm {X} ',$ ce qui donnera

${\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}u'^{3}={\tfrac {4}{3}}.2\varpi .\mathrm {MP} .{\tfrac {1}{2}}Cord.\mathrm {MD} ',\qquad (g)$

${\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}\left\{3u'z'-(1-t')^{2}(2+t')\right\}.\qquad (h)$

La première sera donc les ${\tfrac {4}{3}}$ de la surface engendrée par la tangente $\mathrm {MD} '$ tournant autour du même axe.

S’il s’agit de l’arc entier $\mathrm {OO} ',$ on aura, pour la première surface,

${\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}={\tfrac {4}{3}}Arc.\mathrm {OA} \,;$

c’est-à-dire, la moitié de la surface engendrée par le même arc autour de $\mathrm {OA} .$ On aura ensuite, pour la seconde

${\tfrac {8}{3}}\varpi r^{2}(3\varpi -4)=4\varpi r.2\varpi r-{\tfrac {32}{3}}\varpi r^{2}\,;$

résultat qui prouve (IV) que la somme des surfaces engendrées par la demi-cycloïde $\mathrm {OO} '$, tournant successivement autour de $\mathrm {AO'}$ et $\mathrm {OA'}$ est égale à la surface convexe du cylindre engendré par le rectangle circonscrit à la cycloïde entière, tournant autour de sa