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FORMULES

méthode d’approximation dont nous nous sommes servis avec succès dans le mémoire côté au commencement de celui-ci. Il y avait alors une limite asymptotique, rigoureusement assignable par le calcul, tandis qu’ici la série de valeurs à laquelle nous venons de parvenir ne permet guère de rien soupçonner de semblable^[1].

12. Heureusement la nouvelle méthode que nous proposons est, toutes choses égales d’ailleurs, susceptible de fournir d’elle-même, et sans auxiliaires quelconques, des résultats beaucoup plus, exacts que ceux qu’on déduit de l’autre. Pour le prouver, du moins par des exemples, cherchons encore, d’après les deux méthodes, la longueur de l’arc de $45^{\circ }={\tfrac {\varpi }{4}},$ en ne prenant d’abord pour diviseur général que huit avec ses aliquotes $1,2,4,8.$ En suivant la marche indiquée dans le précédent mémoire, on trouvera, en général,

${\begin{aligned}5670\int X\operatorname {d} x&=\ 217(a+i)\\&+1024(b+d+f+h)\\&+\ \ 352(c+g)\\&+\ \ 436e.\\\end{aligned}}$

Or, on a ici

${\begin{array}{rcrc}a=&1,&&i=&{\tfrac {1}{1}},\\b=&{\tfrac {64}{65}},&&h=&{\tfrac {64}{113}},\\c=&{\tfrac {64}{68}},&&g=&{\tfrac {64}{100}},\\d=&{\tfrac {64}{80}},&&f=&{\tfrac {64}{89}},\\&&e={\tfrac {64}{80}}\,;&&\\\end{array}}$

en conséquence, on aura

${\begin{array}{rcc}a+i=&{\tfrac {1}{2}},\\b+h=&{\tfrac {64.178}{65.113}},\\\end{array}}$

1. Les mêmes considérations n’infirmeraient-elles pas ce que nous avons dit sur l’interpolation des suites (page 317 de ce volume) ? ce serait là une chose intéressante à examiner.
   J. D. G.