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FORMULES

$y=a+x\Delta a+x(x-1)\Delta ^{2}a+x(x-1)(x-2)\Delta ^{3}a$

$+x(x-1)(x-2)(x-3)\Delta ^{4}a+x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\Delta ^{5}a+\ldots$

formule dont la loi est évidente.

5. En conséquence, l’aire demandée qui, en général est $\int y\operatorname {d} x$, sera l’intégrale de

$A\operatorname {d} x+Bx\operatorname {d} x+Cx^{2}\operatorname {d} x+Dx^{3}\operatorname {d} x+Ex^{4}\operatorname {d} x+\ldots$

c’est-à-dire,

$Ax+{\tfrac {1}{2}}Bx^{2}+{\tfrac {1}{3}}Cx^{3}+{\tfrac {1}{4}}Dx^{4}+{\tfrac {1}{5}}Ex^{5}+\ldots$

ou bien

${\begin{aligned}\int y\operatorname {d} x&=ax\\&+\Delta a\int x\operatorname {d} x\\&+\Delta ^{2}a\int x(x-1)\operatorname {d} x\\&+\Delta ^{3}a\int x(x-1)(x-2)\operatorname {d} x\\&+\Delta ^{4}a\int x(x-1)(x-2)(x-2)\operatorname {d} x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

ce qui donne également en développant

${\begin{aligned}{\frac {\int y\operatorname {d} x-ax}{x^{2}}}&={\tfrac {1}{2}}\Delta a\\&+\left({\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\Delta ^{2}a\\&+\left({\tfrac {x^{2}}{4}}-{\tfrac {3}{3}}x+{\tfrac {2}{2}}\right)\Delta ^{3}a\\&+\left({\tfrac {x^{3}}{5}}-{\tfrac {6}{4}}x^{2}+{\tfrac {11}{3}}x-{\tfrac {6}{2}}\right)\Delta ^{4}a\\&+\left({\tfrac {x^{4}}{6}}-{\tfrac {10}{5}}x^{3}+{\tfrac {35}{4}}x^{2}-{\tfrac {50}{3}}x+{\tfrac {24}{2}}\right)\Delta ^{5}a\\&+\left({\tfrac {x^{5}}{7}}-{\tfrac {15}{6}}x^{4}+{\tfrac {85}{5}}x^{3}-{\tfrac {225}{4}}x^{2}+{\tfrac {274}{3}}x-{\tfrac {120}{2}}\right)\Delta ^{6}a\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

6. Cette intégrale, qui s’évanouit avec $x$, doit être prise jusqu’à cette même quantité $x$, qui désigne le nombre des divisions de l’axe