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ÉCLIPSES

101. La condition de la plus grande phase donne $q:r=q':r'=y:z.$

Il en résulte

$q={\frac {fq'}{p}},\qquad y={\frac {q'}{p}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}},$

$r={\frac {fr'}{r}},\qquad z={\frac {r'}{p}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}.$

substituant ces valeurs dans les deux dernières équations (100), on obtiendra celle-ci :

$A(A-B){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=(A-x)Bp-(B-x)Af\,;$

elle ne renferme plus que les deux seules inconnues $f$ et $x.$

102. On a de plus les équations déjà connues

${\begin{aligned}X&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu ,\\Y&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\mu ,\\Z&=c\operatorname {Sin} .\lambda \,;\\\end{aligned}}$

de même que celles-ci :

${\begin{aligned}X&=x\operatorname {Cos} .\alpha \qquad \quad -y\operatorname {Sin} .\alpha ,\\Y&=x\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -z\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Z&=x\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon .\\\end{aligned}}$

Substituant dans les trois dernières les valeurs de $y$ et $z$ (101) elles deviendront

${\begin{array}{ll}cp\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu &=px\operatorname {Cos} .\alpha \quad \qquad -q'\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {c^{2}-x^{2}}},\\cp\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu &=px\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +(q'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}},\\cp\operatorname {Sin} .\lambda &=px\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +(q'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}.\\\end{array}}$

103. Comme la latitude du lieu est au nombre des quantités connues, la troisième de ces équations ne renfermera que la seule inconnue $x.$ Il faudra donc résoudre cette équation ; mais, pour présenter l’inconnue, sous la forme la plus simple, faisons, pour abréger,