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DE SOLEIL.

64. Solution. L’instant donné fera connaître les deux coordonnées $q',r',$ moyennant les formules $q'=M+mt,\ r'=N+nt.$ La condition d’une éclipse centrale donne $q=0,\ r=0\,:$ on aura donc (8), en supprimant $x$ dans $A-x,$ ce que la nature du problème nous permet de faire, $y={\frac {Bq'}{A-B}},\ z={\frac {Br'}{A-B}},$ et ensuite $x={\sqrt {c^{2}-y^{2}-z^{2}}}.$ Nous avons donné les valeurs numériques de $M,N,m,n,$ en secondes d’un cercle dont le rayon était la distance $A$ du centre de la terre à celui du soleil, savoir ; (40)

{\begin{array}{ll}M=-5207'',&m=+8210'',\\N=+3562,&n=-804''.\\\end{array}}

Il faudra exprimer de même le rayon $C$ de la terre, lequel par conséquent deviendra égal à $8'',7345$ qui constitue (44) la parallaxe horizontale du soleil.

65. Le commencement et la fin de l’éclipse centrale sont marqués par les deux limites extrêmes au-delà desquelles la coordonnée $x$ n’a plus de valeur réelle. On aura donc, pour ces deux instans, $c^{2}=y^{2}+z^{2}.$ Ainsi, en faisant, pour abréger, ${\frac {A}{B}}-1=h,$ ce qui rend $h=413,1056$ (44), on aura l’équation $h^{2}c^{2}=(M+mt)^{2}+$ $(N+nt)^{2}\,;$ ou bien

(m^{2}+n^{2})t^{2}+2(Mm+Nn)t+(M^{2}+N^{2})=h^{2}c^{2}.

Donc, si ; pour abréger, on fait

R^{2}=(m^{2}+n^{2})h^{2}c^{2}-(Mn-Nm)^{2}\,;

que de plus on désigne par $t$ le commencement de l’éclipse, par $t'$ sa fin, et qu’on en fasse autant pour les coordonnées $y$ et $z$ qui s’y rapportent, on aura

t={\frac {(Mm+Nn)+R}{m^{2}+n^{2}}},\quad t'=-{\frac {(Mm+Nn)-R}{m^{2}+n^{2}}}\,;

hy=+{\frac {n(Mn-Nm)-mR}{m^{2}+n^{2}}},\quad hy'=+{\frac {n(Mn-Nm)+mR}{m^{2}+n^{2}}}\,;