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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

5.^o Si les formules à intégrer sont de l’une des deux formes

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{2n}z,\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\operatorname {Sin} .^{2n}z,$

on leur substituera leurs équivalentes

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}z\right)^{n},\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}z\right)^{n},$

lesquelles, par le développement, donneront une suite de termes qui rentreront dans l’un des cas (2.^o ) et (4.^o ).

On sait donc, par ce qui précède, intégrer, sous forme finie, toute formule de la forme

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z,$

$m$ et $n$ étant des nombres entiers positifs quelconques ou zéro.

6.^o Soit présentement une formule de la forme

$z^{k}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z\,;$

l’intégration par parties donnera z

$\int z^{k}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z=z\int z^{k-1}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z$

$-\int \operatorname {d} z\int z^{k-1}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z\,;\quad$(E)

au moyen de quoi on ramènera, par degrés, l’intégration demandée à $\int \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z,$ que nous avons traitée dans les numéros précédens.

II. Soient $\mathrm {AO,AO'}$ respectivement (fig. 1) la demi-base et la montée d’une cycloïde, et soient menées $\mathrm {O'A',OA'} ,$ respectivement parallèles à ces deux droites. Par un quelconque $\mathrm {M}$ des points de la courbe, soient menées aux mêmes droites les parallèles $\mathrm {QQ',PP'}$ terminées aux quatre droites. Soit $\mathrm {C}$ le lieu du centre du cercle générateur, pour sa position où le point décrivant est en $\mathrm {M} ,$ et soit $\mathrm {DD',}$ son diamètre parallèle à $\mathrm {AO} ',$ coupant $\mathrm {QQ'}$ en $\mathrm {N} \,;$ soient enfin menées $\mathrm {MD,MC,MD'}$ et soient $\mathrm {CD=CM=CD'} =r.$ Nous prendrons

${\begin{array}{llllll}\mathrm {OP} &=\mathrm {QM} &=x,&\mathrm {MP} &=\mathrm {QO} &=y,\\\mathrm {O'P'} &=\mathrm {Q'M} &=x',&\mathrm {MP'} &=\mathrm {Q'O'} &=y',\\\end{array}}$