nous venons de dire (II) s’applique, sans restrictions, aux angles polyèdres égaux, lesquels peuvent aussi être tantôt identiques et tantôt symétriques. Nous aurons seulement à observer ici que les développemens de deux angles polyèdres symétriques sont toujours superposables, soit par un côté soit par l’autre ; de sorte que deux tels angles polyèdres ne diffèrent uniquement que par la partie de leur développement qui en a formé la surface intérieure, lorsqu’on a plié ces développemens pour les former.
Ainsi, en résumé, il y a des angles polyèdres symétriques à eux-mêmes ; et ce sont ceux qu’un plan passant par leur sommet partage en deux parties égales tellement situées, que ce plan est à la fois perpendiculaire sur le milieu de toutes les droites qui joignent leurs points homologues. Tels sont, en particulier, l’angle trièdre isocèle et l’angle tétraèdre formé de la réunion de deux angles trièdres isocèles, opposés base à base. Enfin, si l’on décompose deux angles polyèdres égaux en un même nombre d’angles trièdres, par des plans diagonaux homologues ; suivant que ces angles polyèdres seront identiques ou symétriques, les angles trièdres résultant de leur décomposition seront eux-mêmes identiques ou symétriques.
On voit d’après cela que, si l’on veut remplir un angle polyèdre avec les parties d’un autre angle polyèdre qui lui est symétrique, tout se réduira à savoir décomposer un angle trièdre en parties symétriques à elles-mêmes. Pour résoudre ce dernier problème il suffit de conduire par l’axe du cône inscrit des plans perpendiculaires aux faces ; ces plans partageront l’angle trièdre en trois angles tétraèdres symétriques à eux-mêmes, par ce qui précède.
On pourrait aussi recourir ici à la considération du cône circonscrit ; mais il faudrait savoir auparavant dans quel cas l’axe d’un tel cône tombe dans l’intérieur de l’angle trièdre sur l’une de ses faces ou extérieurement ; et il faudrait en outre qu’il fût démontré que, dans ce dernier cas, l’angle trièdre est toujours décomposable en d’autres tels que, pour aucun d’eux, l’axe du cône circonscrit n’est extérieur.
