On peut appeler ces quatre droites les axes de similitude des trois sphères ; un seul est externe, et les trois autres sont internes.
THÉORÈME XIV. Si une sphère variable de grandeur dans l’espace est constamment tangente à trois sphères de grandeur et de situation invariable ; le plan conduit par ses points de contact avec elles, variable comme elle, coupera toujours néanmoins le plan des centres suivant une même droite, laquelle ne sera autre que l’axe de similitude des trois sphères.
On doit remarquer que l’axe dont il s’agit est externe, lorsque la sphère variable touche extérieurement ou enveloppe à la fois les trois sphères fixes ; et qu’au contraire il est interne lorsque la sphère variable touche l’une des sphères fixes extérieurement et enveloppe les deux autres, ou encore lorsque, touchant ces deux-ci extérieurement, elle enveloppe la première.
THÉORÈME XV. Les six centres de similitude externes de quatre sphères considérées successivement deux à deux, et conséquemment les quatre axes de similitude externes de ces mêmes sphères considérées successivement trois à trois sont situés sur un même plan : chacun de ces axes est dans un même plan avec trois des six centres de similitude internes ; de sorte que les douze centres sont sur seize droites qui sont elles-mêmes situées sur cinq plans.
On peut appeler ces plans les plans de similitude des quatre sphères ; un seul est externe tandis que les quatre autres sont internes.
Les théorèmes que nous venons d’énoncer sont connus, pour la plupart ; mais il n’était pas inutile de faire voir comment, en établissant entre eux une subordination convenable, on parvient facilement à les démontrer. Ce qu’on trouve à la page 349 du IV.e volume de ce recueil suffira pour en faire sentir l’importance et l’utilité.
