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QUESTIONS

sphères varie à la fois de grandeur et de situation dans l’espace, le point de concours de ses plans radicaux, déterminés par rapport aux trois autres, variable comme elle, ne sortira pas néanmoins d’une ligne droite, laquelle sera l’axe radical de ces trois-ci.

Retournons présentement à nos trois cônes. Supposons que $C$ et $C''$ soient tangents l’un à l’autre ; leur plan radical $(k')$ deviendra leur plan tangent commun, dont l’intersection avec le plan des axes déterminera la ligne de contact des deux cônes. Mais, l’équation de ce dernier plan est

$ay=bx,$

et sa combinaison avec l’équation $(k')$ donne

${\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)x\operatorname {Cos} .r''&=az(\operatorname {Cos} .r-c\operatorname {Cos} .r''),\\\left(a^{2}+b^{2}\right)y\operatorname {Cos} .r''&=bz(\operatorname {Cos} .r-c\operatorname {Cos} .r'')\,;\\\end{aligned}}$

ainsi, voilà les deux équations de la ligne de contact des deux cônes $C$ et $C''.$ Mais, l’angle de leurs axes devant être égal à la somme ou à la différence de leurs angles générateurs, on doit avoir

$c=\operatorname {Cos} .(r''+r),\quad$d’où$\quad a^{2}+b^{2}=1-c^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}(r''+r)\,;$

$r$ devant être pris positivement ou négativement, suivant que les deux cônes se touchent extérieurement ou intérieurement. On a d’après cela

$\operatorname {Cos} .r-c\operatorname {Cos} .r''=\operatorname {Cos} .r-\operatorname {Cos} .r''\operatorname {Cos} .(r''+r)=\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Sin} .(r''+r)\,;$

au moyen de quoi nos deux équations deviennent

$x={\frac {az\operatorname {Tang} .r''}{\operatorname {Sin} .(r''+r)}},\qquad y={\frac {bz\operatorname {Tang} .r''}{\operatorname {Sin} .(r''+r)}}.\qquad (t')$

On trouvera semblablement, pour les équations de la ligne de contact de $C''$ et $C'$

$x={\frac {a'z\operatorname {Tang} .r''}{\operatorname {Sin} .(r''+r')}},\qquad y={\frac {b'z\operatorname {Tang} .r''}{\operatorname {Sin} .(r''+r')}}.\qquad (t)$

Si l’on conduit un plan par ces deux droites, son équation sera