Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/337

327

RÉSOLUES.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.\qquad$(1)

les équations de cet axe seront

$cx=az,\quad cy=bz.\qquad$(2)

Soient

$Cx=Az,\quad Cy=Bz,\qquad$(3)

les équations d’une génératrice quelconque $A,B,C$ étant les cosinus des angles que forme cette génératrice avec les mêmes axes ; ce qui donne

$A^{2}+B^{2}+C^{2}=1.\qquad$(4)

$A,B,C,$ seront indéterminés ; et le cosinus de l’angle de la génératrice avec l’axe sera, en ayant égard aux conditions (1 et 4),

$aA+bB+cC\,;$

mais cet angle doit être constant et égal à $r\,;$ donc

$aA+bB+cC=Cos.r.\qquad$(5)

D’un autre côté, les équations (3 et 4) donnent

$A={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\ B={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\ C={\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\,;$

substituant donc dans l’équation (5), quarrant et chassant le dénominateur, il viendra finalement pour l’équation du cône dont il s’agit

$(ax+by+cz)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)Cos.^{2}r.\qquad$(C)

Désignons ce cône par $C.$ Pour un autre cône $C',$ de même sommet que le premier, l’équation sera

$(a'x+b'y+c'z)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)Cos.^{2}r'.\qquad$(C')

avec la condition

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=1.\qquad$(6)

Nos deux cônes $C,C'$ se coupent, en général ; suivant deux droites