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NOUVEAUX.

les axes des coordonnées soient les diamètres principaux ; et concevons de plus que $\mathrm {D,D',D''}$ soient trois diamètres conjugués quelconques de cette seconde surface ; nous exprimerons cette circonstance par les trois équations de condition

$\left.{\begin{aligned}\alpha a'a''+\beta b'b''+\gamma c'c''&=0,\\\alpha a''a\ +\,\ \beta b''b+\ \gamma c''c&=0,\\\alpha aa'\ \ +\ \ \beta bb'+\ \ \gamma cc'&=0,\end{aligned}}\right\}(7)$

dans lesquelles $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont trois constantes ne dépendant que des dimensions de la seconde surface.

Si l’on prend successivement les différences deux à deux des produits respectifs de ces équations d’abord par $b,b',b'',$ puis par $a,a',a'',$ il viendra

$\left.{\begin{aligned}\alpha a''(ab'-\ \ ba')&=\gamma c''(bc'-cb'),\\\alpha a(a'b''-b'a'')&=\gamma c(b'c''-c'b''),\\\alpha a'(a''b-\ b''a)&=\gamma c'(b''c-c''b)\,;\\\end{aligned}}\right\}(8)$

$\left.{\begin{aligned}\beta b''(ab'-\ \ ba')&=\gamma c''(ca'-ac'),\\\beta b(a'b''-b'a'')&=\gamma c(c'a''-a'c''),\\\beta b'(a''b-\ b''a)&=\gamma c'(c''a-a''c).\\\end{aligned}}\right\}(9)$

En prenant la somme des produits respectifs des équations (8) par $a''cc',$$ac'c'',a'c''c,$ et la somme des produits respectifs des équations (9) par $b''cc',$$bc'c'',b'c''c,$ et ayant égard aux équations (5), il vient simplement

$\alpha d=\gamma f,\qquad \beta e=\gamma f\,;\qquad$(10)

éliminant enfin $d$ et $e$ de la formule (6), au moyen de ces deux dernières équations, $f$ disparaîtra aussi de lui-même, et il viendra

$z={\frac {2\alpha \beta NPQ}{\beta \gamma NQ+\alpha \gamma NP+2\alpha \beta PQ}}\,;\qquad$(11)

quantité constante. De là résulte ce théorème :

THÉORÈME II. Si l’on conçoit, dans l’espace, deux surfaces quelconques du second ordre, telles que le centre de la seconde