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THÉORÈMES

$\left.{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\}$(3)

l’équation du plan $\mathrm {C}$ qui joint les points de rencontre de ces droites avec la surface est

$\ \ \left\{{\begin{aligned}&cc'(bc'-cb')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2APQa''c''\right)\\+&c'c''(b'c''-c'b'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2APQac\right)\\+&c''c(b''c-c''b)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2APQa'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}x$

$+\left\{{\begin{aligned}&cc'(ca'-ac')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2BPQb''c''\right)\\+&c'c''(c'a''-a'c'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2BPQbc\right)\\+&c''c(c''a-a''c)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2BPQb'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}y$

$+\left\{{\begin{aligned}&cc'(ab'-ba')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}+2PQc''^{2}\right)\\+&c'c''(a'b''-b'a'')\left(NQa''^{2}+NPb^{2}+2PQc^{2}\right)\\+&c''c(a''b-b''a)\left(NQa''^{2}+NPQb'^{2}+2PQc'^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}z$

$=2NPQcc'c''(ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a'')\,;\qquad$(4)

d’où nous avons conclu que ce plan rencontre l’axe des $z,$ c’est-à-dire, la normale, en un point dont on obtient la distance à l’origine, en posant, dans cette équation $x=0$ et $y=0$.

En posant, pour abréger,

$\left.{\begin{array}{lll}a^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+a'^{2}c''c(a''b-b''a)&+a''^{2}cc'(ab'-ba')&=d,\\b^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+b'^{2}c''c(a''b-b''a)&+b''^{2}cc'(ab'-ba')&=e,\\c^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+c'^{2}c'c''(a''b-b''a)&+c''^{2}cc'(ab'-ba')&=f\,;\\\end{array}}\right\}{\text{(5)}}$

cette distance sera donnée par la formule

$z={\frac {2fNPQ}{dNQ+eNP+2fPQ}}.\qquad$(6)

Cela posé, concevons une seconde surface du second ordre dont