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NOUVELLE MÉTHODE

$B',C',D',E',$ comme des termes répondant respectivement aux indices ${\tfrac {1}{5}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{2}},\ 1\,;$ et, en cherchant, comme ci-dessus, le terme qui répond à l’indice ${\tfrac {1}{\infty }}$ ou $0,$ ce sera une valeur plus approchée de $\varpi .$

III. Notre deuxième application aura encore pour objet la recherche du nombre $\varpi ,$ mais nous y procéderons de manière à faire voir comment la méthode dont nous cherchons ici à étendre l’usage s’applique à la sommation des séries convergentes, dont on connaît seulement un petit nombre des premiers termes, sans que même il soit aucunement besoin d’en connaître la loi.

Prenons la série connue de Leibnitz.

$\varpi =4\left(1-{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{9}}-{\tfrac {1}{11}}+\ldots \right)\,;$

en réduisant chaque terme de rang pair avec le terme de rang impair qui le précède immédiatement, elle deviendra

$\varpi =8\left({\tfrac {1}{1.3}}+{\tfrac {1}{5.7}}+{\tfrac {1}{9.11}}+{\tfrac {1}{13.15}}+\ldots \right)\,;$

Nous allons essayer de la sommer au moyen de ses six premiers termes seulement.

On a

${\begin{array}{lclrl}1.^{er}{\text{ terme}}&{\frac {1}{1.3}}&=0,3333333,&&1.^{er}{\text{ terme}}&=0,3333333=F,\\2.^{e}\ldots &{\frac {1}{5.7}}&=0,0285714,&{\text{Som.}}&{\text{des deux }}1.^{ers}&=0,3619047=E,\\3.^{e}\ldots &{\frac {1}{9.11}}&=0,0101010,&&{\text{des trois }}1.^{ers}&=0,3720057=D,\\4.^{e}\ldots &{\frac {1}{13.15}}&=0,0051282,&&{\text{des quatre }}1.^{ers}&=0,3771339=C,\\5.^{e}\ldots &{\frac {1}{17.19}}&=0,0030960,&&{\text{des cinq }}1.^{ers}&=0,3802299=B,\\6.^{e}\ldots &{\frac {1}{21.23}}&=0,0020704,&&{\text{des six }}1.^{ers}&=0,3823003=A.\\\end{array}}$

Si nous considérons ces nombres $A,B,C,D,E,F$ comme