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D’APPROXIMATION.

Bases $={\tfrac {1}{6}},\ 6$ rectangles $\ldots {\tfrac {1}{6}}(\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +\eta )={\tfrac {3}{6}}a',$

Bases $={\tfrac {1}{3}},\ 3$ rectangles $\ldots {\tfrac {2}{6}}(\gamma +\varepsilon +\eta )={\tfrac {1}{6}}b',$

Bases $={\tfrac {1}{2}},\ 2$ rectangles $\ldots {\tfrac {3}{6}}(\delta +\eta )={\tfrac {1}{6}}c',$

Bases $=1,\ \ 1$ rectangle $\ \ldots {\tfrac {1}{6}}\eta ={\tfrac {1}{6}}d'.$

Nous aurons toujours d’ailleurs la formule

$A={\frac {1296a'-567b'+112c'-d'}{5040}}\,;$

en y faisant donc successivement les deux substitutions, il viendra

$\int X\operatorname {d} x>{\frac {82\alpha +216(\beta +\zeta )+27(\gamma +\varepsilon )+272\delta }{840}}.$

$\int X\operatorname {d} x<{\frac {216(\beta +\zeta )+27(\gamma +\varepsilon )+272\delta +82\eta }{840}}.$

La différence

${\frac {41(\eta -\alpha )}{420}},$

est la limite de l’erreur que pourra entraîner l’emploi de l’une ou de l’autre de ces deux formules, dont la demi-somme est précisément la formule de M. Kramp, ainsi que ce cela doit être.

Si l’on applique ces formules aux deux exemples de l’auteur, c’est-à-dire, à la recherche du logarithme naturel de $2\,;$ et à celle du nombre ${\frac {\varpi }{4}}\,;$ comme, dans l’un et dans l’autre cas, on a $\alpha =1$ et $\eta =0,5,$ on aura $\eta -\alpha =-{\tfrac {1}{2}}\,;$ de sorte que la limite de l’erreur est ${\tfrac {41}{840}}\,;$ ou environ ${\tfrac {1}{20}}.$ Nous allons voir au surplus que la résolution du problème des quadratures peut encore être présentée sous une autre forme qui, sans exiger un grand nombre de divisions de l’étendue de l’intégrale, est néanmoins susceptible d’une approximation presque illimitée.

Supposons toujours qu’il soit question d’obtenir ${\frac {\varpi }{4}}$ ou, ce qui