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MÉTHODE

ment trouver tous les autres. Soit $m$ un nombre absolument quelconque dont il faille chercher le logarithme. Soit $2^{n}$ la puissance de deux qui lui est immédiatement inférieure ; et soit $1+h$ le quotient qu’on obtient en divisant le premier de ces deux nombres par le second. Comme $h$ sera certainement un nombre moindre que l’unité, la formule (I) suffira pour déterminer le logarithme de $1+h\,;$ divisant donc à en six parties égales on aura $\alpha ={\frac {6}{6}},\beta ={\frac {6}{6+h}},$ $\gamma ={\frac {6}{6+2h}},\delta ={\frac {6}{6+3h}},\varepsilon ={\frac {6}{6+4h}},\zeta ={\frac {6}{6+5h}},\eta ={\frac {6}{6+6h}}={\frac {1}{1+h}}.$ Il faudra multiplier par $h$ l’intégrale obtenue par la formule ; on aura alors le logarithme de $1+h,$ auquel ajoutant $n$ fois celui de deux, on aura celui de $m$ avec une erreur qui ne tombera pas au-dessus de la huitième ou même de la neuvième décimale.

24. Exemple II. On demande le logarithme naturel de 10000 ?

La puissance de deux immédiatement inférieure à 10000 est $8192=2^{13}$. On aura ainsi $m=10000,n=13,1+h={\frac {10000}{8192}}=1+{\frac {1808}{8192}}$$=1+{\frac {113}{512}}\,;$ on aura donc

$\operatorname {Log} .10000=13\operatorname {Log} .2+\operatorname {Log} (1+{\frac {113}{512}}).$

Pour trouver ce dernier logarithme, on fera $\alpha ={\frac {3072}{3072}},\beta ={\frac {3072}{3185}},$

$\gamma ={\frac {3072}{3298}},\delta ={\frac {3072}{3411}},\varepsilon ={\frac {3072}{3524}},\zeta ={\frac {3072}{3637}},\eta ={\frac {3072}{3350}}$

On trouvera ensuite

${\begin{aligned}41(\alpha +\eta )&=\ \ 74,58720000,\\216(\beta +\zeta )&=390,78145008,\\27(\gamma +\varepsilon )&=\ \ 48,68667756,\\272\ \delta &=244,96745680.\\\end{aligned}}$

La somme $759,02278444$ de ces quatre nombres, divisée par $840,$ et multipliée par $h={\frac {113}{512}}$ donne pour le logarithme de $1+h$ ou $h={\frac {625}{512}}$

$0,1994270243.$ La valeur rigoureuse est $0,1994270243\,;$ la différence est donc seulement de quatre unités décimales du dixième ordre.

25. D’un autre côté, ayant trouvé $\operatorname {Log} .2=0,6931471816,$ on aura $13\operatorname {Log} .2=9,0109133608.$ Ajoutant celui qu’on vient de trouver,