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MÉTHODE

${\frac {\varpi }{4}}=0,78539816.$

Ainsi l’erreur est $-0,00000545,$ moindre que un cent millième.

20. Cette première formule (17) est la plus simple et la plus aisée de toutes ; c’est celle qui exige le moins de calculs ; mais c’est aussi c’elle qui donne les résultats les moins approchés. Celles qui vont suivre seront beaucoup plus exactes.

21. Deuxième formule. Prenons $12$ pour diviseur général, mais n’admettons d’abord que les parties aliquotes $1,2,3,4,6$ ; cela donnera

${\begin{aligned}A&={\tfrac {bcdea'}{(b-a)(c-a)(d-a)(e-a)}}+{\tfrac {cdeab'}{(c-b)(d-b)(e-b)(a-b)}}+{\tfrac {deabc'}{(d-c)(e-c)(a-c)(b-c)}}\\&\qquad +{\tfrac {eabcd'}{(e-d)(a-d)(b-d)(c-d)}}+{\tfrac {abcde'}{(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)}}.\\\end{aligned}}$

Or, nous avons ici $a=1,\ b=4,\ c==9,\ d=16,\ e==36,$ nous aurons donc, en prenant pour unité l’intervalle entre les deux ordonnées extrêmes,

$A={\frac {1728a'-945b'+320c'-54d'+e'}{12600}}\,;$

mais on a, dans le cas actuel,

${\begin{aligned}a'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +\eta +\theta +\iota +\varkappa +\lambda +\mu +{\tfrac {1}{2}}\nu ,\\b'&=\alpha +2\gamma +2\varepsilon +2\eta +2\iota +2\lambda +\nu ,\\c'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +3\delta +3\eta +2\varkappa +{\tfrac {1}{2}}\nu ,\\d'&=2\alpha +4\eta +4\iota +2\nu \,;\\e'&=3\alpha +6\eta +3\nu \,;\\\end{aligned}}$

qui donnera, en substituant,

$\int X\operatorname {d} x={\tfrac {49(\alpha +\nu )+288(\beta +\mu )-27(\gamma +\lambda )+448(\delta +\varkappa )-63(\varepsilon +\iota )+288(\zeta +\theta )+134\eta }{2100}}.$