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QUESTIONS

7. La loi des valeurs de $Y,$ dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule

$Y_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.\ldots p}}\left\{p^{c}+0.{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+1.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{1.2}}(p-2)^{c}\right.$

$\left.+2.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}{\frac {p-2}{3}}(p-3)^{c}+\ldots \right\}\,;\qquad$(D)

dans laquelle les coefficiens $0,1,2,9,44,265,\ldots$ sont liés entre eux par les équations.

${\begin{aligned}0&=1.1-1,\\1&=2.0+1,\\2&=3.1-1,\\9&=4.2+1,\\44&=5.p-1,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

ou, en général,

$a_{n}=n.a_{n-1}+(-1)^{n}\,;\qquad$(E)

le quantième $n$ du premier terme de la formule étant $0.$

On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant $p=1,$ elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens $0,1,2,9,44,\ldots$ est au surplus