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D’INTÉGRATION.

${\begin{array}{ll}\varepsilon &={\tfrac {6}{10}}=0,60000000,\\\zeta &={\tfrac {6}{11}}=0,54545455,\\\eta &={\tfrac {6}{12}}=0,50000000\,;\\\end{array}}$

Ces valeurs étant substituées dans la formule (I), on aura

$\operatorname {Log} .2=0,69314806.$

La valeur rigoureuse est

$\operatorname {Log} .2=0,69314718.$

La différence est donc $+0,00000088,$ moindre qu’un millionième.

19. Exemple II. On demande la longueur du demi-quadrans $={\frac {\varpi }{4}}$ ?

La longueur de l’arc dont la tangente est $t$ est l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}},$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=t$ ; celle de l’arc $={\frac {\varpi }{4}}$ sera donc cette même intégrale, prise entre zéro et un ; divisant donc cet intervalle en six parties égales, et remarquant qu’ici $X={\tfrac {1}{1+x^{2}}},$ il viendra

${\begin{array}{llll}\alpha &={\tfrac {36}{36}}=1,00000000,&\alpha +\eta &=1,50000000,\\\beta &={\tfrac {36}{37}}=0,97297297,&\beta +\zeta &mm=1,56313690,\\\gamma &={\tfrac {36}{40}}=0,90000000,&\gamma +\varepsilon &=1,59230769,\\\delta &={\tfrac {36}{45}}=0,80000000,&2\delta &=1,60000000.\\\varepsilon &={\tfrac {36}{52}}=1,69230769,&&\\\zeta &={\tfrac {36}{62}}=0,59016393,&&\\\eta &={\tfrac {36}{72}}=0,50000000\,;&&\\\end{array}}$

Ces valeurs étant substituées dans la formule (I), on aura

$={\frac {\varpi }{4}}=0,78539271.$

La valeur rigoureuse est