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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$Z_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.3\ldots p}}\left\{p^{c}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{c}-\ldots \right\}\,;$ (B)

et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de $Z_{(c,p)}$ satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si $p=1,$ la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de $c=p,$ en vertu du théorème connu :

$1.2.3\ldots p=p^{p}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{p}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{p}-\ldots \,;$

ainsi, cette formule est démontrée.

6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons $Y_{(c,p)}$ le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en $p$ espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera $1.2.3\ldots p.$ Soit $q$ un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles $q$ parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède, $Z_{(c,q)}\,;$ donnant donc successivement à $q$ toutes les valeurs, depuis $1$ jusqu’à $p$ inclusivement, on aura

$Y_{(c,p)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p)}\,;$

on aurait de même

$Y_{(c,p-1)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p-1)}\,;$

d’où, en retranchant et transposant

$Y_{(c,p)}=Y_{(c,p-1)}+Z_{(c,p)}\qquad$(C)

Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de $Y,$ savoir $Y_{(c,1)},$ pour toutes les valeurs de $c,$ on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.