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RELATION ENTRE QUATRE POINTS

${\begin{aligned}Ang.\mathrm {BOC} =a,&\quad Ang.\mathrm {DOA} =a',\\Ang.\mathrm {COA} =b,&\quad Ang.\mathrm {DOB} =b',\\Ang.\mathrm {AOB} =c,&\quad Ang.\mathrm {DOC} =c'.\\\end{aligned}}$

Par $\mathrm {OA,OB,OC}$ prises deux à deux soient conduits trois plans. Soit prise sur $\mathrm {OD}$ une partie $\mathrm {OR} =r,$ et par le point $\mathrm {R}$ soient conduits trois nouveaux plans respectivement parallèles aux premiers ; ils formeront avec eux un parallélipipède dont $r$ sera la diagonale ; désignons par $x,y,z$ respectivement, les arêtes de ce parallélipipède qui répondent à $\mathrm {OA,OB,OC}$ ; nous aurons ainsi

${\begin{aligned}\operatorname {Ang} .(y,z)=a,&\quad \operatorname {Ang} .(r,x)=a',\\\operatorname {Ang} .(z,x)=b,&\quad \operatorname {Ang} .(r,y)=b',\\\operatorname {Ang} .(x,y)=c,&\quad \operatorname {Ang} .(r,z)=c'.\\\end{aligned}}$

Or, il est connu que la projection d’une droite sur une autre est le produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur l’autre ; en considérant donc les divers quadrilatères gauches que forment les arêtes consécutives $x,y,z$ avec la diagonale $r,$ il viendra

$r=x\operatorname {Cos} .a'+y\operatorname {Cos} .b'+z\operatorname {Cos} .c'\,;\qquad$(1)

$\left.{\begin{aligned}&x=r\operatorname {Cos} .a'-y\operatorname {Cos} .c-z\operatorname {Cos} .b,\\&y=r\operatorname {Cos} .b'-z\operatorname {Cos} .a-x\operatorname {Cos} .c,\\&z=r\operatorname {Cos} .c'-x\operatorname {Cos} .b-y\operatorname {Cos} .a.\\\end{aligned}}\right\}(2)$

Des trois dernières on tire