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DES SUITES.

nombres. Soit $2n+1$ le nombre des valeurs connues et correspondantes de $x$ et $y,$ on pourra numéroter $o$ la valeur de $x$ qui se trouvera occuper le milieu, de manière que le numérotage soit

$-n,-(n-1)\ldots ,-3,-2,-1,\pm 0,+1,+2,+3\ldots +(n-1),+n$

si alors on désigne par $\Sigma n^{m}$ la somme des $m.$^mes puissances des nombres de la suite naturelle, on aura

$\Sigma a^{0}=2n+1,\ \Sigma a=0,\ \Sigma a^{2}=2\Sigma n^{2},\ \Sigma a^{3}a=0,\ \Sigma a^{4}=2\Sigma n^{4},\ldots \,;$

au moyen de quoi les équations (1) deviendront

${\begin{aligned}&(2n+1)A+2\Sigma n^{2}.C+\ldots =\Sigma b,\ 2\Sigma n^{2}.B+2\Sigma n^{4}.D+\ldots =\Sigma ab,\\&2\Sigma n^{2}.A+2\Sigma n^{4}.C+\ldots =\Sigma a^{2}b,\ 2\Sigma n^{4}.B+2\Sigma n^{6}.D+\ldots =\Sigma a^{3}b,\\&2\Sigma n^{4}.A+2\Sigma n^{6}.C+\ldots =\Sigma a^{4}b,\ 2\Sigma n^{6}.B+2\Sigma n^{8}.D+\ldots =\Sigma a^{5}b,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

ainsi, outre que les sommes de puissances semblables des nombres naturels sont données par des formules connues et générales, on aura ici l’avantage de pouvoir calculer séparément les coefficiens de rangs pairs et ceux de rangs impairs, ce qui simplifiera le travail d’une manière notable.

Dans le cas même où ni les valeurs de $x$ ni celles de $y$ ne marcheraient en progression par différences, on pourrait encore profiter de ces simplifications, en procédant comme il suit : on supposerait que $x$ et $y$ sont toutes deux fonctions d’une troisième variable $z,$ dont les valeurs, tout à fait arbitraires, pourraient être numérotées comme nous l’avons dit ci-dessus à l’égard de $x$ ; on chercherait par notre procédé, les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}},\ldots \,;$ et on aurait ensuite par les formules connues, relatives au changement de la variable indépendante,