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QUESTIONS

2. Considérons d’abord les répartitions $r,r',r'',\ldots$ appartenant à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la part formée par $k,$ il restera des répartitions $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ de $c-1$ choses distribuées en $p-1$ parts, ou, suivant notre notation, des répartitions appartenante l’ensemble $(c-1,p-1).$ Réciproquement si, à des répartitions $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ contenues dans ce dernier ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose $k,$ on obtiendra $r,r',r'',\ldots$ de l’espèce (I). Il est de plus évident que si $r,r',r'',\ldots$ ne sont pas identiques, $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions $(c-1,p-1),$ lequel est exprimé, suivant notre notation, par $Z_{(c-1,p-1)}.$

3. Retranchons la chose $k$ de chacune des répartitions de l’espèce (II) ; nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement appartiendront à l’ensemble $(c-1,p).$ Réciproquement, ayant une répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose $k$ à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a $p$ parts, et par conséquent $p$ manières de faire cette adjonction, chaque répartition de L’ensemble $(c-1,p)$ produira $p$ répartitions de l’espèce (II), lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble $(c-1,p)$ le seront encore lorsqu’on y aura ajouté $k$ d’une manière quelconque. Donc le nombre des répartitions (II) est $p$ fois celui des répartitions $(c-1,p)\,;$ c’est-à-dire, qu’il est $=pZ_{(c-1,p)}.$

Ainsi, $(c,p)$ étant composé de (I) et de (II), on aura

$Z_{(c,p)}=p.Z_{(c-1,p)}+Z_{(c-1,p-1)}.\qquad$(A)

4. Au moyen de cette équation, nous pourrons former une table à double entrée des valeurs de $Z_{(c,p)}$ pourvu que nous en connaissions les valeurs initiales. Or, si $p=1,$ on a $Z_{(c,p)}=1\,;$ car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière