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INTERPOLATION

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {b'-b_{'}}{2}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=(b'+b_{'})-2b\,;$

pour le cas de cinq ordonnées

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {8(b'-b_{'})-(b''-b_{''})}{12}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-{\frac {30b-16(b'+b_{'})+(b''+b_{''})}{12}}\,;$

pour le cas de sept coordonnées

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {45(b'-b_{'})-9(b''-b_{''})+(b'''-b_{'''})}{60}},$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-{\frac {490b-270(b'+b_{'})+27(b''+b_{''})-2(b'''+b_{'''})}{180}}\,;$

et ainsi de suite.

Or, supposons que, toutes les autres ordonnées étant d’ailleurs exactes, l’ordonnée $b'$ seule soit en erreur d’une quantité $\beta ,$ et désignons par $\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ les erreurs qui en résulteront sur les coefficiens différentiels ; il est aisé de voir qu’on aura, dans le cas de trois ordonnées,

$\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {1}{2}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {2}{2}}\beta \,;$

dans le cas de cinq coordonnées

$\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {2}{3}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {4}{3}}\beta \,;$

dans le cas de sept ordonnées

$\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {3}{4}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {6}{4}}\beta \,;$

de sorte que les erreurs sur le coefficient différentiel du premier ordre croissent comme les nombres ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},\ldots$ et tendent ainsi sans cesse à devenir égales à l’erreur même commise sur l’ordonnée $b'$ ;