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THÉORÈMES

$Qx^{2}+Py^{2}=\lambda z^{2}\,;\qquad$(15)

$\lambda$ étant une indéterminée qui fixe la grandeur de cette surface conique. En combinant l’équation (15) avec l’équation (1), pour en éliminer $Qx^{2}+Py^{2},$ il vient, en divisant par $z,$

$\left(N\lambda +2PQ\right)z-2PQ\left(Ax+By+N\right)=0\,;\qquad$(16)

équation linéaire, qui nous montre que, quel que soit $\lambda ,$ l’intersection des deux surfaces est toujours une courbe plane.

Si, dans la vue de connaître suivant quelle droite le plan de cette courbe rencontre le plan tangent, on fait $z=0,$ dans l’équation (16), elle deviendra

$Ax+By+N=0\,;\qquad$(17)

résultat tout à fait indépendant de $\lambda$ ; ce qui donne lieu au théorème que voici :

THÉORÈME IV. Si une suite de surfaces coniques ont respectivement pour centre et pour axe commun un point pris arbitrairement sur une surface quelconque du second ordre et la normale à cette surface en ce point ; et si en outre les sections de ces surfaces coniques par des plans parallèles au plan tangent, lesquelles auront leur centre sur la normale, ont leurs diamètres principaux proportionnels aux racines quarrées des rayons de plus grande et de moindre courbure de la surface à leur sommet commun ; toutes ces surfaces coniques couperont la surface du second ordre suivant une série de courbes planes, dont les plans viendront tous passer par la droite intersection des plans tangens aux deux extrémités de la normale ; d’où il suit, par la théorie des pôles, que les surfaces coniques circonscrites, ayant ces courbes planes pour lignes de contact avec la surface du second ordre, auront toutes leurs sommets situés sur une même droite^[1].

1. Donc aussi les cônes de révolution qui ont respectivement pour sommet et pour axe commun un ombilic d’une surface du second ordre et la normale qui lui répond, coupent cette surface suivant une série de cercles.
   J. D. G.