Si, dans la vue de savoir en quel point le plan rencontre l’axe des c’est-à-dire, la normale, on fait et égaux à zéro, cette dernière équation donnera
résultat entièrement indépendant de la situation des droites De là résulte le théorème que voici :
THÉORÈME III. Si, à une surface du second ordre, on inscrit une suite de tétraèdres rectangles, ayant tous le sommet de leur angle droit trièdre situé en un même point quelconque de cette surface ; leurs faces hypothénusales concourront toutes en un même point de la normale menée par le sommet commun de tous ces tétraèdres ; d’où il suit encore, par la théorie des pôles, que les surfaces coniques circonscrites qui auront pour lignes de contact avec la surface dont il s’agit, ses intersections avec les plans des faces hypothénusales de ces tétraèdres, auront toutes leurs sommets situés sur un même plan.
On voit par là que l’inscription à une surface du second ordre de trois tétraèdres rectangles, ayant tous le sommet de leur angle droit trièdre situé en un même point de cette surface, suffit pour déterminer la direction de la normale et conséquemment du plan tangent en ce point.
Concevons présentement une surface conique ayant son centre à l’origine, dont l’axe soit l’axe des c’est-à-dire, la normale, et dont les sections parallèles au plan tangent, elliptiques ou hyperboliques, aient leurs diamètres principaux respectivement proportionnels aux racines quarrées des rayons de plus grande et de moindre courbure au point que nous considérons ; l’équation de cette surface conique sera de la forme
