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THÉORÈMES

$+\left\{{\begin{aligned}&\quad \ cc'(ca'-ac')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2BPQb''c''\right)\\&+c'c''(c'a''-a'c'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2BPQbc\right)\\&+c''c(c''a-a''c)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2BPQb'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}\,y$

$+\left\{{\begin{aligned}&\quad \ cc'(ab'-ba')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2PQc''^{2}\right)\\&+c'c''(a'b''-b'a'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2PQc^{2}\right)\\&+c''c(a''b-b''a)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2PQc'^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}\,z$

$=2NPQcc'c''\left(ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''\right),$ (9)

Cela posé, supposons que chacune de nos droites $\mathrm {D,D',D'',}$ soit perpendiculaire aux deux autres, nous exprimerons cette circonstance par les trois équations

$\left.{\begin{aligned}&aa'\ \ +bb'\ \ +cc'\ \ =0,\\&a'a''+b'b''+c'c''=0,\\&a''a\ +b''b\ +c''c\ \ =0,\end{aligned}}\right\}\qquad$(10)

lesquelles, combinées avec les relations (2, 5, 6), donneront entr’autres^[1]

$\left.{\begin{array}{lll}bc'\ \ -cb'\ \ =a'',&ca'\ \ -ac'\ \,=b'',&ab'\ \ -ba'\ \ =c'',\\b'c''-c'b''=a,&c'a''-a'c''=b,&a'b''-b'a''=c,\\b''c\ -c''b\ \,=a',&c''a\ -a''c\ \,=b',&a''b\ -b''a\ \,=c'\,;\end{array}}\right\}$ (11)

et par conséquent

$\left.{\begin{aligned}&ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''\\=&a(b'c''-c'b'')+a'(b''c-c''b)+a''(bc'-cb')\\&\qquad \quad =a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.\\\end{aligned}}\right\}$ (12)

En conséquence, l’équation (9) deviendra simplement

1. Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tome III, n.^o 3, janvier 1816, page 302.