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THÉORÈMES

$Nx^{2}+2Py(y-Ax-N)=0.\qquad$(1)

Soit $\mathrm {D}$ une droite menée arbitrairement par l’origine, et formant respectivement avec les axes des $x$ et des $y$ des angles dont les cosinus soient $a$ et $b,$ ce qui donnera

$a^{2}+b^{2}=1\,;\qquad$(2)

l’équation de cette droite sera

$ay=bx\,;\qquad$(3)

en la combinant avec l’équation (1), on obtiendra, pour les coordonnées de l’intersection de $\mathrm {D}$ avec la courbe

$\left.{\begin{aligned}x&={\frac {2NPab}{Na^{2}+2Pb^{2}-2APab}},\\y&={\frac {2NPb^{2}}{Na^{2}+2Pb^{2}-2APab}}.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(4)

Pour une nouvelle droite $\mathrm {D',}$ passant également par l’origine, et formant avec les axes des $x$ et des $y$ des angles dont les cosinus soient respectivement $a',b',$ ce qui donne

$a'^{2}+b'^{2}=1,\qquad$(5)

on aura semblablement

$\left.{\begin{aligned}x&={\frac {2NPa'b'}{Na'^{2}+2Pb'^{2}-2APa'b'}},\\y&={\frac {2NPb'^{2}}{Na'^{2}+2Pb'^{2}-2APa'b'}}.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(6)

(6) On trouvera aisément d’après cela que l’équation de la corde $\mathrm {C}$ qui joint les extrémités des deux droites $\mathrm {D,D'}$ est, en divisant par $ab'-ba'.$

$\left\{N\left(ab'+ba'\right)-2APbb'\right\}x+\left(2Pbb'+Naa'\right)y=2NPbb'.\qquad$(7)

Si, pour savoir en quels points la corde \rightC coupe la normale et