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QUESTIONS RÉSOLUES.

${\begin{aligned}2a''+2c''\operatorname {Cos} .\beta +2b''\operatorname {Cos} .\gamma =&a,\\2b''+2a''\operatorname {Cos} .\gamma +2c''\operatorname {Cos} .\alpha =&b,\\2c''+2b''\operatorname {Cos} .\alpha +2a''\operatorname {Cos} .\beta =&c.\\\end{aligned}}$

En se rappelant que

$1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {36T^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}},$ (7)

on en tire

${\begin{aligned}a''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -b\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)-c\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\right\},\\b''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{b\operatorname {Sin} .^{2}\beta -c\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)-a\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\right\},\\c''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{c\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -a\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)-b\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\right\},\\\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra

$R^{2}={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{144T^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2bc\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\\+&b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2ca\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\\+&c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2ab\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad$(8)

§. III.

Trouver la distance entre les centres des sphères inscrite et circonscrite
à un même tétraèdre ?

En représentant par $D$ cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura

$D^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(a'-a'')^{2}+2(b'-b'')(c'-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(b'-b'')^{2}+2(c'-c'')(a'-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(c'-c'')^{2}+2(a'-a'')(b'-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\,;\qquad$(9)

formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons $R$ et $r.$^[1]

1. Il serait sur-tout intéressant de savoir si $D$ peut être exprimé uniquement en fonction de $R$ et $r.$
   J. D. G.