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RÉSOLUES.

${\frac {x}{Aa}}={\frac {y}{Bb}}={\frac {z}{Cc}},$

ou enfin

${\frac {x}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {y}{\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {z}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.$

§. II.

Trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ?

Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus $\mathrm {O}$ le centre et $\mathrm {R}$ le rayon de la sphère circonscrite en désignant par $a'',b'',c''$ les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes $a,b,c,$ son équation sera

$\left.{\begin{aligned}&(x-a'')^{2}+2(y-b'')(z-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b'')^{2}+2(z-c'')(x-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c'')^{2}+2(x-a'')(y-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=R^{2}.\qquad$(4)

Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets $\mathrm {A,B,C,D,}$ il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs

${\begin{array}{lll}x=0,&y=0,&z=0,\\x=a,&y=0,&z=0,\\x=0,&y=b,&z=0,\\x=0,&y=0,&z=c.\\\end{array}}$

Cela donne

$a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},$ (5)

$\left.{\begin{aligned}&(a-a'')^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha -2c''(a-a'')\operatorname {Cos} .\beta -2b''(a-a'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+(b-b'')^{2}+c''^{2}-2c''(b-b'')\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta -2a''(b-b'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+b''^{2}+(c-c'')^{2}-2b''(c-c'')\operatorname {Cos} .\alpha -2a''(c-c'')\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2}.\\\end{aligned}}\right\}{\text{(6)}}$

Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par $a,$ la seconde par $b$ et la troisième par $c,$