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QUESTIONS

En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point $o,$ et ayant pour bases les quatre faces $A,B,C,D$ du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché $r,$ et l’on aura conséquemment

$T=(A+B+C+D).{\frac {r}{3}}\,;$

d’où on tire

$r={\frac {3T}{A+B+C+D}}.\qquad$(1)

$\mathrm {D} o$ est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en $\mathrm {D}$ sont égales à $a',b',c'\,;$ et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à $r.$ En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent

$a'={\frac {ar}{g}},\qquad b'={\frac {br}{h}},\qquad c'={\frac {cr}{k}}.\qquad$(2)

Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2bc}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {c^{2}+a^{2}+e^{2}}{2ca}},\quad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+f^{2}}{2ab}}\,;$

$T={\tfrac {1}{6}}abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}\,;$

$A={\tfrac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad B={\tfrac {1}{2}}ca\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad C={\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;$

$D={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2e^{2}f^{2}+2f^{2}d^{2}+2d^{2}e^{2}-d^{4}-e^{4}-f^{4}}}\,;$

$g={\frac {3T}{A}},\qquad h={\frac {3T}{B}},\qquad k={\frac {3T}{C}}\,;$

au moyen de quoi $r,a',b',c'$ peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.

Les équations de $\mathrm {D} o$ sont

${\frac {x}{a'}}={\frac {y}{b'}}={\frac {z}{c'}},$

ou

${\frac {gx}{a}}={\frac {hy}{b}}={\frac {kz}{c}},$

ou