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RÉSOLUES.

$\operatorname {Tang} .^{2}R={\frac {16\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\Delta ^{2}}}\,;\qquad$(9)

ou, en mettant pour $\Delta ^{2}$ sa valeur ci-dessus, et extrayant la racine quarrée,

$\operatorname {Tang} .R={\frac {2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}c}{\sqrt {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}}}\,;\qquad$(10)

formule commode par le calcul par logarithmes.

Si, dans celle dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, elle deviendra

$R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\,;\qquad$(11)

expression connue du rayon du cercle circonscrit au triangle rectiligne, en fonction de ces trois côtés.

Solution du deuxième problème ;

Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.

§. 1.

Trouver le rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre ?

Soient $\mathrm {ABCD}$ le tétraèdre donné ;

$Aire\mathrm {BCD} =A,\quad Aire\mathrm {CDA} =B,\quad Aire\mathrm {DAB} =C,\quad Aire\mathrm {ABC} =D\,;$

$T$ le volume du tétraèdre ; $r$ le rayon de la sphère inscrite ;

$\mathrm {AD} =a,\quad \mathrm {BD} =b,\quad \mathrm {CD} =c,\quad \mathrm {BC} =d,\quad \mathrm {CA} =e,\quad \mathrm {AB} =f\,;$

$o$ le centre de la sphère inscrite, $a',b',c'$ ses coordonnées respectivement parallèles à $a,b,c,$ le sommet $\mathrm {D}$ étant l’origine ;

$g,h,k$ les perpendiculaires abaissées des sommets $\mathrm {A,B,C}$ sur les plans des faces opposées $A,B,C,$

Enfin, $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles que forment deux à deux les arêtes $a,b,c.$