Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/234

224

QUESTION

formule dans laquelle il ne sera plus question que de substituer pour $\Delta ,\operatorname {Sin} .r,\operatorname {Cos} .R$ les valeurs trouvées ci-dessus (I, II).^[1]

IV. De l’expression (1) de $\operatorname {Sin} .^{2}r$ on conclut aisément

$\operatorname {Cos} .^{2}r={\frac {4\operatorname {Sin} .^{2}s}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .a\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .c\\\end{aligned}}}\qquad$(4)

et par suite

$\operatorname {Tang} .^{2}r={\frac {\Delta ^{2}}{4\operatorname {Sin} .^{2}s}}\,;\qquad$(5)

or, on trouve aisément

$\Delta ^{2}=4\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)\,;$

donc enfin

$\operatorname {Tang} .r={\frac {\sqrt {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}}{\operatorname {Sin} .s}}\,;\qquad$(6)

formule commode pour le calcul par logarithmes.

Si dans cette dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, il viendra

$r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}}\,;\qquad$(7)

expression connue du rayon du cercle inscrit au triaagle rectiligne, en fonction de ses trois eôtés.

V. De l’expression (2) de $\operatorname {Cos} .^{2}R$ on conclut aisément

$\operatorname {Sin} .^{2}R={\frac {16\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a-2(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b-2(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c-2(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}}\,;\qquad$(8)

et, par suite,

1. Il serait intéressant de découvrir si, pour Le triangle sphérique, comme pour le triangle rectiligne, $D$ est simplement fonction de $r$ et $R$ (voyez Annales, tom. III, pag. 347). Le moyen de s’en assurer serait d’éliminer, entre les équations (1, 2, 3}, deux quelconques des trois angles $a,b,c,$ afin de voir si le troisième disparaîtrait aussi de lui-même ; mais ce moyen ne paraît pas être d’une exécution très-facile.
   J. D. G.