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DE LA MÉCANIQUE.

$\operatorname {F} \left(X,Y,Z,X',Y',Z',\ldots x,y,z,x',y',z',\ldots \right)=0.\qquad$(1)

Soient $P,Q,R,P',Q',R',\ldots$ d’autres forces, indépendantes des premières, appliquées aux mêmes points ; la condition de l’équilibre entre les forces totales $X+P,\ Y+Q,\ Z+R,\ X'+P',\ Y'+Q',\ Z'+R',\ldots$ sera

$\operatorname {F} \left(X+P,Y+Q,Z+R,X'+P',Y'+Q',Z'+R',\ldots x,y,z,x',y',z',\ldots \right)=0\,;$

ou, en supprimant dans le développement la partie détruite par l’équation (1), et désignant par $\operatorname {F} _{x},\operatorname {F} _{y},\operatorname {F} _{z},\ldots$ les fonctions dérivées de $\operatorname {F} ,$ prises successivement par rapport à $X,Y,Z,\ldots$

$P\operatorname {F} _{x}(X,Y,Z,\ldots )+Q\operatorname {F} _{y}(X,Y,Z,\ldots )+R\operatorname {F} _{z}(X,Y,Z,\ldots )+\ldots =0.$

En vertu de la proposition mentionnée plus haut, les forces en équilibre $X,Y,Z\ldots$ doivent s’évanouir, et il ne doit rester dans le premier membre de l’équation que les forces $P,Q,R,\ldots \,;$ donc les fonctions dérivées sont des dimensions nulles, et la fonction primitive $\operatorname {F}$ est linéaire ; ce qui change l’équation (1) en celle-ci

$AX+BY+CZ+A'X'+B'Y'+C'Z'+\ldots =0\,;\qquad$(2)

$A,B,C,A',B',C',\ldots$ étant des coefficiens encore inconnus ; mais indépendans de l’intensité des forces.

Cela posé, lorsque la résultante des forces $X,Y,Z,$ qui agissent le point $(x,y,z),$ est perpendiculaire à la surface courbe sur laquelle ce point est assujetti à se mouvoir, c’est-à-dire, lorsqu’on a l’équation de condition $X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z=0,$ les forces $X,Y,Z$ sont en équilibre, et la somme des termes qui contiennent ces forces doit s’évanouir ; donc l’expression linéaire $AX+BY+CZ$ doit être de la forme $\mu (X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z),\ \mu$ étant indépendant des forces. Par une raison semblable $A'X'+B'Y'+C'Z'$ doit être