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DE LA MÉCANIQUE.

Si l’on exécute la même décomposition pour les autres composantes $P'',P''',\ldots$ du système, on en déduira des résultats analogues. On aura donc, au lieu des puissances $P',P'',\ldots$ du système, d’autres puissances ; dont les unes seront parallèles à la résultante, tandis que les autres lui seront normales ; ces dernières devront donc se détruire ; et la somme des momens des premières, par rapport à notre plan normal devra être nulle, puisque ce plan est supposé passer par le point d’application de la résultante. En exprimant donc que la somme des formules semblables à (8), relatives à toutes les forces, est nulle ; remarquant que les quantités constantes $a,b,c,$$\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ et leurs fonctions peuvent être placées hors du signe $\Sigma ,$ et qu’enfin

$\Sigma (X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma )=P,\qquad$(9)

il viendra

$P(a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta +c\operatorname {Cos} .\gamma )$

$=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \Sigma .x'X'+\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \Sigma \left(y'Z'+z'Y'\right)\\+&\operatorname {Cos} .^{2}\beta \Sigma .y'Y'+\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \Sigma \left(z'X'+x'Z'\right)\\+&\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \Sigma .z'Z'+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \Sigma \left(x'Y'+y'X'\right)\\\end{aligned}}\right\}\,;\qquad$(10)

ou enfin, en remettant pour $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ les valeurs données par les équations (4).

$P^{2}\left(a\Sigma .X'+b\Sigma .Y'+c\Sigma .Z'\right)$

$=\left\{{\begin{aligned}&(\Sigma .X')^{2}\Sigma .x'X'+\Sigma .Y'\Sigma .Z'\Sigma \left(y'Z'+z'Y'\right)\\+&(\Sigma .Y')^{2}\Sigma .y'Y'+\Sigma .Z'\Sigma .X'\Sigma \left(z'X'+x'Z'\right)\\+&(\Sigma .Z')^{2}\Sigma .z'Z'+\Sigma .X'\Sigma .Y'\Sigma \left(x'Y'+y'X'\right)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad$(11)

Or, puisque $a,b,c$ sont les coordonnées du point d’application de la résultante, on doit avoir (2)