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SUR LES PRINCIPES

Soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ respectivement, les angles que forme la direction de la résultante $P$ avec les axes des $x,y,z\,;$ ces angles seront connus par les équations de cette résultante, et l’on aura

$P\operatorname {Cos} .\alpha =\Sigma .X',\quad P\operatorname {Cos} .\beta =\Sigma .Y',\quad P\operatorname {Cos} .\gamma =\Sigma .Z'.\quad$(4)

Cela posé, si l’on imagine un plan normal à la direction de la résultante, et passant par son point d’application ; en désignant par $a,b,c$ les coordonnées de ce point, la perpendiculaire abaissée sur ce plan du point $(x',y',z')$ aura pour longueur

$(x'-a)\operatorname {Cos} .\alpha +(y'-b)\operatorname {Cos} .\beta +(z'-c)\operatorname {Cos} .\gamma .\qquad$(5)

Si ensuite on décompose chacune des forces $X',Y',Z'$ en deux autres, l’une perpendiculaire et l’autre parallèle au plan dont il s’agit, les composantes de la première sorte seront

$X'\operatorname {Cos} .\alpha ,$ pour la force $X',$

$Y'\operatorname {Cos} .\beta ,$ pour la force $Y',$

$Z'\operatorname {Cos} .\gamma ,$ pour la force $Z'\,;$

d’où il suit que

$X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma \qquad$(6)

sera la composante totale de $P'$ parallèle à la résultante, et qu’ainsi son moment par rapport à notre plan normal sera (5)

$(X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma )\left\{(x'-a)\operatorname {Cos} .\alpha +(y'-b)\operatorname {Cos} .\beta +(z'-c)\operatorname {Cos} .\gamma )\right\}$ (7)

ou, en développant,

$\left.{\begin{array}{rl}&\ \ \ \quad \qquad x'X'\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +(y'Z'+z'Y')\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\&\quad \qquad +y'Y'\operatorname {Cos} .^{2}\beta +(z'X'+x'Z')\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\&\quad \qquad +z'Z'\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +(x'Y'+y'X')\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \\&-(a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta +c\operatorname {Cos} .\gamma )(X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma )\\\end{array}}\right\}(8)$