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DE LA MÉCANIQUE.

qui doivent déterminer la résultante donnent des valeurs ${\frac {0}{0}},$ pour les coordonnées de son point d’application ; au lieu de dire, avec M. Poinsot, que cela doit être, parce que la résultante est censée appliquée à un point quelconque de sa direction ; on dira que cela doit être, par la raison bien simple que les équations d’une droite ne déterminent pas l’un des points de cette droite plutôt que tout autre ; et on en conclura qu’il faut, outre les équations de la résultante, une autre équation entre les coordonnées de son point d’application, pour la détermination complète de ce point.

Solution. Soient donc $X',Y',Z'\,;X'',Y'',Z''\ldots$ les composantes, parallèles aux axes, des forces $P',P'',\ldots ,$ appliqués à différens points $(x',y',z')\,;(x'',y'',z''),\ldots$ d’un système solide libre. Soient $X,Y,Z$ les composantes parallèles aux axes de leur résultante $P,$ dont $(x,y,z)$ soit le point d’application ; on aura, comme l’on sait^[1], pour l’intensité de la résultante,

$P={\sqrt {(\Sigma .X')^{2}+(\Sigma .Y')^{2}+(\Sigma .Z')^{2}}}\,;\qquad$(1)

et sa direction sera donnée par les trois équations

$\left.{\begin{aligned}y\Sigma .Z'-z\Sigma .Y'=&\Sigma .y'Z'-\Sigma .z'Y',\\z\Sigma .X'-x\Sigma .Z'=&\Sigma .z'X'-\Sigma .x'Z',\\x\Sigma .Y'-y\Sigma .X'=&\Sigma .x'Y'-\Sigma .y'X'\,;\\\end{aligned}}\right\}(2)$

dont chacune est comportée par les deux autres, au moyen de la condition

$(\Sigma .y'Z'-\Sigma .z'Y')\Sigma .X'+(\Sigma .z'X'-\Sigma .x'Z')\Sigma .Y'+(\Sigma .x'Y'-\Sigma .y'X')\Sigma .Z'=0,$(3)

qui exprime que la résultante est unique. Ces équations se réduisent donc ainsi à deux, et ne peuvent conséquemment déterminer autre chose que la direction de la résultante, et non les coordonnées $x,y,z$ de son point d’application. Il s’agit donc de trouver une nouvelle équation entre les mêmes coordonnées.

1. Voyez, Prony, Francœur, Poinsot, Labey ou Poisson.