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QUESTIONS RÉSOLUES.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 299 du V.^e volume de ce recueil ;

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Problème. Construire quatre sphères telles que chacune d’elles touche les trois autres, et qui satisfassent de plus aux condition, suivantes ; savoir : 1.^o que les points de contact des trois premières avec la quatrième soient trois points donnés ; 2.^o que ces trois sphères soient tangentes à un même plan donné ?

Solution. Soient $\mathrm {A,B,C,D}$ les centres des quatre sphères cherchées, $a,b,c$ les points de contact donnés des trois premières. avec la quatrième, $a',b',c'$ les points de contact des mêmes sphères avec le plan donné. Ces trois derniers points sont inconnus, mais le plan qu’ils déterminent est connu.

Les droites $\mathrm {AB} ,ab,a'b',$ concourent, comme l’on sait, en un même point $\gamma$ du plan donné, lequel point n’est autre que le sommet du cône circonscrit aux deux sphères dont les centres sont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Pour les mêmes raisons $\mathrm {BC} ,bc,b'c',$ concourront en un même point $\alpha$ et $\mathrm {CA,} ca,c'a'$ en un même point $\beta$ du même plan ; et il est encore connu que ces trois points $\alpha ,\beta ,\gamma$ appartiendront à une même ligne droite, intersection du plan donné avec celui du triangle donné $abc$ ; il est évident en outre que ces points $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront assignables, comme intersection du plan donné avec les droites données $bc,ca,ab.$