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RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE

$(A+{\tfrac {1}{2}}a)-{\sqrt {A^{2}+aA}}<{\tfrac {1}{2}}\,;$

ou, en transposant et multipliant par 2,

$2A+(a-1)<{\sqrt {A^{2}+aA}}.$

En quarrant et réduisant, cette inégalité devient

${\frac {(a-1)^{2}}{4A}}<1.$

Or, puisqu’on suppose que $a$ n’a pas la moitié du nombre des chiffres de $A,\ a^{2}$ et à plus forte raison $(a-1)^{2}$ n’aura pas autant de chiffres que $A,$ d’où il suit qu’en effet ${\frac {(a-1)^{2}}{4A}}$ sera une véritable fraction, comme l’exprime l’inégalité ci-dessus.

Voilà donc déjà notre procédé devenu bien simple ; mais, quelque facile qu’il puisse être de prendre la demi-somme de deux nombres, si l’on faisait le calcul avec beaucoup de chiffres décimaux, on pourrait se trouver entraîné à répéter un grand nombre de fois cette opération, avant d’être parvenu à anéantir totalement la différence entre deux termes consécutifs : voyons donc si nous ne pourrons point encore nous épargner ce travail.

Soient $a,b$ respectivement, deux termes consécutifs d’une suite dont chaque terme est la demi-somme des deux qui le précèdent immédiatement ; les termes subséquens de cette suite seront

${\frac {a+b}{2}},\qquad {\frac {a+3b}{4}},\qquad {\frac {3a+5b}{8}},\qquad {\frac {5a+11b}{16}},\qquad {\frac {11a+21b}{32}},\ldots \,;$

et il s’agira de connaître le dernier terme de cette suite, prolongée à l’infini. Pour le découvrir, donnons à ces termes cette autre forme

${\frac {2(a+2b)+(a-b)}{3.2}},\quad {\frac {4(a+2b)-(a-b)}{3.4}},\quad {\frac {8(a+2b)+(a-b)}{3.8}},\ldots ,$

on verra alors que son terme général est

${\frac {a+2b}{3}}-(-1)^{n}.{\frac {a-b}{3.2^{n}}}.$

Or, dans le cas de $n$ infini, la seconde partie de cette valeur s’évanouit ; d’où il suit que le dernier terme de la série est ${\tfrac {1}{2}}(a+2b).$ On pourra donc, dès qu’on sera parvenu à deux termes consécutifs différant dans moins de moitié de leurs chiffres décimaux, calculer