d’où éliminant les cosinus, au-moyen des équations (1), (2), il vient
mettant dans cette dernière pour sa valeur (4), il viendra enfin
qui est la première des deux propositions annoncées.
Cela posé, concevons un polygone régulier quelconque, de côtés, dont on connaisse le périmètre ainsi que les rayons et des cercles inscrit et circonscrit ; si l’on forme une série, dont les premier et second termes soient respectivement et et dont les suivans soient alternativement, à partir du troisième, moyens par différences et par quotiens entre les deux qui précèdent immédiatement chacun d’eux ; il suit de ce qui vient d’être démontré, que les termes de rangs impairs de cette série seront successivement les rayons des cercles inscrits aux polygones réguliers de côtés, ayant leurs périmètres constamment égaux à et que les termes de rangs pairs de la même suite seront successivement les rayons des cercles circonscrits aux mêmes polygones.
Mais, lorsque, le périmètre d’un polygone régulier demeurant constant, le nombre de ses côtés croît continuellement, le rayon du cercle inscrit croît aussi sans cesse, tandis qu’au contraire celui du cercle circonscrit décroit ; le premier est toujours moindre et le second plus grand que le rayon du cercle dont la circonférence serait égale au périmètre du polygone ; mais ils tendent sans cesse, l’un et l’autre, vers cette limite commune.
Ainsi, dans la série dont il vient d’être question, tandis que les termes de rangs impairs croîtront sans cesse, ceux de rangs pairs, au contraire, décroitront continuellement ; mais de manière que les uns et les autres tendront, de plus en plus, à devenir égaux entre
