Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/202

194

RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE

Cette proposition peut encore être démontrée trigonométriquement ainsi qu’il suit :

On a d’abord évidemment

$r=R\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}\qquad (1)\qquad r'=R'\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}\,;\qquad (2)$

de plus, les périmètres des deux polygones étant $2mr\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{m}},$$\ 4mr'\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2m}},$ on doit avoir

$r\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{m}}=2r'\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2m}}.\qquad$(3)

Si l’on élimine $r,r'$ de cette dernière équation, au moyen des deux précédentes ; il viendra

$R\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{m}}=2R'\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}},$

ou bien

$2R\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}=2R'\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}},$

ou en réduisant

$R\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}=R',$

équation qui, combinée par multiplication avec l’équation (2) donne

$Rr'=R'^{2},\qquad$(4)

qui est la seconde de nos deux propositions,.

On a en outre

$2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2m}}=1+\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}\,;$