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DE GÉOMÉTRIE.

$q^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2BC\operatorname {Cos} .\alpha +2CA\operatorname {Cos} .\beta +2AB\operatorname {Cos} .\gamma \,;$

$q$ est donc la diagonale du parallélépipède construit sur les grandeurs et directions de nos trois demi-diamètres conjugués. Les équations de la droite mobile sont d’ailleurs (2) et (6)

$X=x+{\frac {A}{q}}r,\qquad Y=y+{\frac {B}{q}}r,\qquad Z=z+{\frac {C}{q}}r.$

PROBLÈME III. Quelle courbe décrit un quelconque des points d’une droite mobile, dont deux autres points sont assujettis à être perpétuellement sur deux droites fixes tracées sur un même plan ?

Solution. En conservant les mêmes notations et conventions que dans le Problème I, nous aurons comme alors

$(x+ar)(y+br)=0\,;$

mais ici les racines doivent être deux constantes ; en les représensentant donc par $g$ et $h,$ nous aurons

$g=-{\frac {x}{a}},\qquad h=-{\frac {y}{b}},$

d’où

$a=-{\frac {x}{g}},\qquad b=-{\frac {y}{h}}\,;$

substituant donc dans

$a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {\operatorname {Cos} } .\gamma =1,$

nous aurons, pour l’équation de la ligne cherchée

${\frac {x^{2}}{g^{2}}}+{\frac {y^{2}}{h^{2}}}+2{\frac {xy}{gh}}\operatorname {Cos} .\gamma =1\,;$