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PROBLÈMES

$XYZ=0,\qquad$(1)

en prenant donc pour les équations de la droite mobile

$\left.{\begin{aligned}X&=x+ar,\\Y&=y+br,\\Z&=z+cr\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(2)

ce qui donne

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1\,;\qquad$(3)

nous aurons en substituant (2) dans (1)

$(x+ar)(y+br)(z+cr)=0.\qquad$(4)

Si nous représentons par $r,r',r''$ les trois racines de cette équation, nous aurons

$r=-{\frac {x}{a}},\qquad r'=-{\frac {y}{b}},\qquad r''=-{\frac {z}{c}}\,;$

et, par la condition du problème,

$\pm {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=q^{2}\,;\qquad$(5)

équation d’une surface du second ordre qui a son centre à l’origine des coordonnées, c’est-à-dire, à l’intersection des trois plans fixes.

En désignant par $A,B,C$ les moitiés des diamètres conjugués auxquels la surface se trouve rapportée, nous aurons

$a={\frac {A}{q}},\qquad b={\frac {B}{q}},\qquad c={\frac {C}{q}},\qquad$

ce qui donnera, en substituant dans (3),