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LIGNES ET SURFACES

d’autres termes, elle a son centre situé à une distance infinie.

Imitons ce procédé, par l’analise ; soit

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy+2A''x+2B''y+2C''+D=0,$(1)

l’équation de la surface dont il s’agit, les angles des coordonnées étant $\alpha ,\beta ,\gamma .$

Soient $x=a,y=b$ les équations d’une corde quelconque, parallèle à l’axe des $z$ ; en combinant ces équations avec la proposée, celle-ci deviendra.

$z^{2}+2{\frac {A'b+B'a+C''}{C}}z+{\frac {Aa^{2}+Bb^{2}+C'ab+2A''a+2B''b+D}{C}}=0.$

Les deux valeurs de $z,$ déduites de cette équation, seront les coordonnées, parallèles aux $z,$ des deux extrémités de la corde dont il s’agit. Mais le coefficient du second terme d’une équation du second degré, pris avec un signe contraire, étant la somme de ses racines, il en résulte que, pour le milieu de cette corde, on doit avoir

$z=-{\frac {A'b+B'a+C''}{C}}\,;$

en changeant donc $a$ en $x$ et $b$ en $y,$ dans cette dernière, l’équation résultante

$Cz+A'y+B'x+C''=0$

sera celle du lieu géométrique des milieux de toutes les cordes parallèles à l’axe des $z,$ c’est-à-dire, l’équation du plan diamétral qui coupe toutes ces cordes en deux parties égales.

On peut remarquer que cette équation n’est autre chose que la dérivée de la proposée (1), prise par rapport à $z$ seulement ; et en conclure que les dérivées de la même équation, prises successivement par rapport à $x$ et $y$ seront les équations des plans diamétraux coupant en deux parties égales les cordes respectivement parallèles aux axes des $x$ et des $y.$